Моделирование в биологии
Динамика развития двух антагонистических популяций
(Модель «Хищники – жертвы»)
Постановка задачи. Предположим что в некотором ареале есть две однородные антагонистические популяции: первая – популяция хищников; вторая – популяция жертв. Хищники питаются только жертвами, а жертвы питаются чем – то из вне. Имеющиеся у биологов-исследователей данные говорят, что в отсутствии хищников популяция жертв ведет себя в соответствии с моделью Мальтуса (будем считать, что единственным неблагоприятным фактором для этой популяции являются хищники), т.е. скорость прироста численности жертв прямо пропорциональна их количеству. В присутствии хищников появляется фактор, замедляющий рост численности жертв (скорость уменьшается) и скорость уменьшения численности жертв (вследствие их поедания хищниками) прямо пропорциональна произведению количества жертв на количество хищников. С точки зрения хищников картина обратная. Без популяции жертв хищники вымирают (считаем, что больше источников питания нет), т.е. скорость изменения численности хищников отрицательна и прямо пропорциональна численности хищников. При наличии, жертв появляется в отношении хищников положительный фактор. Он проявляется в росте численности хищников прямо пропорционально произведению численности жертв на численность хищников.
Опираясь на такие опытные факты, составить компьютерную модель динамики взаимодействия сообщества "хищник-жертва".
Математическая модель. Фактически при постановке задачи уже названы все основные закономерности, положенные в основу математической модели. Впервые разработку математической модели при выдвинутых гипотезах сделал известный итальянский математик Вито Вольтерра (1860-1940).
Пусть x(t) — численность популяции жертв в момент времени t, а y(t) —популяции хищников в момент времени t. Пусть N — количество особей в популяции жертв в начальный момент исследования, M — первоначальное количество особей в популяции хищников. В соответствии со сделанными предположениями приходим к двум дифференциальным уравнениям и начальным условиям для каждой популяции. Эти уравнения следует рассматривать одновременно, т.е. как систему уравнений (они сцеплены между собой).
Качественное выполнение курсовых работ на тему : "Анализ и самоанализ на уроках английского языка."
