В статье рассматриваются некоторые вопросы преподавания элементов теории вероятностей и комбинаторики, как средства решения задач теории вероятностей, показывается, каким образом при решении задач могут осуществляться межпредметные связи математики, теории вероятностей (как раздела математики) и информатики. В статье так же представлены возможный вариант планирование курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» для 11 класса, и варианты самостоятельных и контрольных работ.
Одним из значимых аспектов модернизации содержания математического образования является включение в школьные программы вероятностно статистической линии, или как ее стали называть в последнее время – стохастической линии. Вообще говоря, термином стохастика объединяют разделы математики, изучающие случайные явления: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр, теорию случайных процессов и т. д. В школьных программах стохастика представлена в основном элементами теории вероятностей и статистики, а так же комбинаторики, как средства решения вероятностных задач. Нужно отметить, что вопрос об изучении элементов теории вероятностей и статистики в общеобразовательных учреждениях России неоднократно обсуждался, начиная еще с середины XIX века. Но в силу различных причин, реализации этих идей на практике не происходило.
Важное место в процессе введения элементов вероятностно статистического материала в массовую школу занимает радикальная реформа школьного математического образования 60 х годов XX века, когда вопрос о включении основ теории вероятностей в школьный курс математики был поставлен особенно остро. Но, тем не менее, вероятностный материал был исключен из окончательного проекта программы, его рассмотрение было отнесено на факультативные занятия в старшей школе, а так же в программы специализированных классов с углубленным изучением математики.
В последующие десятилетия происходило переосмысление подходов к преподаванию стохастики в школе и увеличение доли практико ориентированного материала. Значительную роль в этом процессе сыграло развитие методики применения компьютера в обучении и появление новых информационных технологий. Так, на сегодняшний день, при изучении вероятностно статистического материала большая доля времени отводится именно на изучение описательной и математической статистики. А в качестве средства для статистической обработки информации в некоторых существующих учебных пособиях предполагается использовать табличный процессор Microsoft Excel. Использование информационных технологий особенно значимо, если учесть, что сегодня практически во всех массовых профессиях применяются информационные и коммуникационные технологии. Но компьютер может быть не только инструментом, позволяющим обрабатывать и представлять в различных формах полученную информацию, он может использоваться для поиска и сбора данных, в качестве генератора случайных чисел, для моделирования случайных экспериментов, он позволяет наглядно демонстрировать практическое применение стохастики. Таким образом, компьютер должен стать одним из основных средств при изучении вероятностно статистического материала в школе.
В данной статье предполагается показать, каким образом при решении задач может осуществляться реализация межпредметных связей математики, теории вероятностей (как раздела математики) и информатики, на примере варианта построения курса по изучению основ теории вероятностей и комбинаторики. Целью данного курса является изучение основных понятий, методов комбинаторики и теории вероятностей, закрепление их на задачном материале, в том числе, других школьных предметов. На изучение курса отводится 18 часов.
Краткое содержание курса
«Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
для классов с углубленным изучением математики (11 класс)
Тема 1: «Элементы комбинаторики» (6 часов)
Правило суммы и правило произведения.
Формула включения исключения.
Классификация видов комбинаторных наборов (сочетания, перестановки, размещения: с повторениями, без повторений). Две основные задачи комбинаторики (генерация и подсчет количества комбинаторных наборов).
Формулы для подсчета количества комбинаторных наборов.
Решение комбинаторных задач.
Самостоятельная работа № 1.
Свойства чисел . Их теоретико множественная интерпретация. Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля.
Тема 2: «Элементы теории вероятностей» (12 часов)
Предмет теории вероятностей. Случайные события. Отношения на множестве случайных событий, действия над случайными событиями.
Решение задач.
Самостоятельная работа № 2.
Классическое и геометрическое определения вероятности.
Решение задач.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли.
Решение задач.
Проверочный тест.
Контрольная работа.
Примеры самостоятельных и контрольных работ
Пример варианта самостоятельной работы № 1
1. Сколькими способами можно составить трехцветный горизонтально полосатый флаг, если имеется материя 5 различных цветов?
2. Сколько существует вариантов кодов в автоматической камере хранения, если длина кода 4 символа, и каждый из них выбирается с диска, на котором нанесены 10 различных символов?
3. Из состава конференции, на которой присутствует 52 человека, надо избрать делегацию, состоящую из пяти человек. Сколькими способами это можно сделать?
4. В киоске продается 10 сортов мороженого. Сколькими способами можно купить 8 порций мороженого?
5. На собрании должны выступить пять человек: Арбузов, Борщов, Виноградов, Глебов и Дмитриев. Сколькими способами можно расположить их в списке выступающих?
Ответы: 1. = 60. 2. 104. 3. = 2 598 960. 4. = 24 310. 5. 5! = 120.
Пример варианта самостоятельной работы № 2
1. Образует ли полную группу следующая группа событий?
Опыт – два выстрела по мишени;
События: А – хотя бы одно попадание;
В – хотя бы один промах.
2. Являются ли несовместными следующие события?
Опыт – бросание двух монет;
События: В1 – выпадение герба на первой монете;
В2 – выпадение решки на второй монете.
3. Являются ли равновозможными следующие события?
Опыт – бросание игральной кости;
События: С1 – выпадение не менее трех очков;
С2 – выпадение не более четырех очков.
4. Является ли следующая группа событий полной группой несовместных равновозможных событий?
Опыт – два выстрела по мишени;
События: А1 – ни одного попадания;
А2 – одно попадание;
А3 – два попадания.
5. Приведите пример трех событий, образующих полную группу совместных, но не равновозможных событий.
Ответы: 1. да. 2. нет. 3. да. 4. нет. 5. Например, опыт – подбрасывание игрального кубика; события: А – выпало кратное 3 число, В – выпало четное число, С – выпало 1 или 5.
Пример варианта проверочного теста
(верных ответов может быть несколько)
1. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «МАТЕМАТИКА»?
Варианты ответов: а) 10!; б) 2 2 3; в) ; г) 5 6 7 8 9 10.
2. Из колоды, в которой 36 карт, наугад выбираются 6 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется туз пик?
Варианты ответов: а) ; б) ; в) ; г) .
4. В продажу поступают телевизоры трех фирм производителей. Продукция первой фирмы содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второй – 10%, а третьей – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров первой фирмы, 20% – второй фирмы и 10% – третьей?
Варианты ответов: а) 0,3 0,8 + 0,2 0,9 + 0,5 0,95;
б) 0,3 + 0,8 0,2 + 0,9 0,5 + 0,95;
в) 0,3 + 0,2 0,2 + 0,1 0,5 + 0,05;
г) 0,3 0,2 + 0,2 0,1 + 0,5 0,05.
5. Электрическая цепь составлена из элементов A1, А2, А3, А4. Вероятность выхода из строя за данный период времени элемента А1 равна 0,3, А2 – 0,4, А3 – 0,1, А4 – 0,2. При выходе из строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Предполагается, что элементы выходят или не выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за рассматриваемый период времени в цепи будет проходить ток.
Варианты ответов: а) 1,61; б) 0,6944; в) 0,0056; г) 0,2976.
Ответы: 1.в,г. 2.а,г. 3.в. 4.а. 5.б.
Пример варианта контрольной работы
1. Сколько чисел, меньших 103, можно составить из цифр 3, 5, 8? Сколько среди них четных?
2. Найдите сумму четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 8, 3, 3, 4.
3. Собрание, состоящее из 30 человек, среди которых 8 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут двое мужчин и одна женщина.
4. Из 10 винтовок, среди которых 6 снайперских и 4 обычные, наугад выбирается одна и из нее производится выстрел. Какова вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки 0,9, а из обычной – 0,7.
5. В классе 30% учеников брюнеты, 60% – блондины и 10% – рыжие. На уборку территории школы выбираются шесть человек. С какой вероятностью среди выбранных будет хотя бы один рыжий?
Ответы: 1.39 чисел, из них 13 четных. 2.59 994. 3. . 4.0,82. 5.0,468559.
В рамках курса за счет подбора задач предполагается реализовывать внутрипредметные дидактические связи в математике и межпредметные связи, в частности, с информатикой. Проиллюстрируем сказанное на примерах решения следующих задач.
1. Задача на генерацию комбинаторных объектов. Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 3, 8, 10, 14 см. Сколько среди них правильных, равнобедренных, разносторонних?
Указания к решению. При решении задачи применяется известная из курса математики теорема: в треугольнике сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны. Из которой следует, что, например, тройки чисел 3, 3, 8 или 3, 8, 14 не могут задавать треугольник.
Ответ. 4 – правильных, 9 – равнобедренных, 2 – разносторонних.
2. Задача на подсчет вероятностей. С какой вероятностью два выбранных случайным образом целых числа из отрезка [1, 20] оба окажутся простыми?
Методические комментарии. В задаче используется понятие простого числа, известное из курса математики. В отрезке [1, 20] содержится 6 простых чисел. Задача может быть решена двумя способами: используя классическое определение вероятности, или по формуле вероятности произведения зависимых событий.
По классическому определению
P = .
По формуле вероятности произведения зависимых событий
P(A) = P(A1 A2) = P(A1) P(A2 / A1) = ,
где события А – «оба числа оказались простыми», А1 – «первое число оказалось простым», А2 – «второе число оказалось простым».
Ответ. .
3. Задача на подсчет количества комбинаторных объектов. Пусть в некотором компьютере каждый символ кодируется 5 битами. Какое максимальное количество различных символов можно использовать в этом компьютере?
Указания к решению. Для решения этой комбинаторной задачи учащиеся должны знать структуру внутренней памяти компьютера, в частности, понятие бита. Эти понятия относятся к базовым понятиям курса информатики.
Ответ. 25 = 32 (символа).
4. Задача на подсчет количества информации. В корзине 32 шара, из них 8 красных, 16 синих, 4 зеленых и 4 желтых. Извлекается один шар. Какое количество информации несет сообщение о том, какого цвета шар достали?
Указания к решению. Для решения задачи достаточно использовать известную из курса информатики формулу Шеннона:
I = pi log2 ,
где p1 – это вероятность того, что извлечен красный шар, p2 – синий, p3 – зеленый, p4 – желтый.
Ответ. 1,75 бит.
5. Вычисление определенного интеграла методом статистических испытаний.
Вычислить методом статистических испытаний следующий интеграл
,
где функция y = f(x) непрерывна, и положительна на отрезке [a, b]
Методические комментарии. Из курса математики известно, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = а, х = b, осью абсцисс и графиком функции y = f(x) (см. рис.1).
В курсе теории вероятностей приводится несколько определений вероятности. По геометрическому определению в плоскости вероятность попадания в область d точки, брошенной в область D (d D) равна отношению площадей, то есть
.
По статистическому определению вероятность наступления события приближенно равна отношению числа опытов m, в результате которых событие наступило, к общему числу всех опытов n, то есть
.
В геометрическом определении в качестве области d будем рассматривать криволинейную трапецию, в качестве D – прямоугольник {a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}. В статистическом определении в качестве проводимого опыта возьмем бросание точки в прямоугольник D, а в качестве события – попадание точки в область d. Получаем формулу
P = .
Отсюда формула
Тогда для решения задачи нужно провести достаточное количество опытов – n. Опыт заключается в случайном выборе точки (xi, yi) из D:
a ≤ xi ≤ b, 0 ≤ yi ≤ f(x).
Так же необходимо подсчитать количество опытов m, в которых точка (xi, yi) принадлежит криволинейной трапеции, то есть yi ≤ f(xi). Тогда интеграл можно вычислить по формуле
.
Результат вычисления интеграла будет тем точнее, чем больше опытов будет проведено. Поэтому при решении этой задачи целесообразно использовать компьютер. Для случайного выбора точек (xi, yi), то есть выработки последовательности значений случайных величин X и Y можно использовать генератор случайных чисел, которым снабжены многие программы и языки программирования. Например, RND (Basic), random (Pascal), генератор случайных чисел в Excel (Сервис\Анализ данных\генерация случайных чисел). Числа, генерируемые с помощью RND и random, не являются случайными в строгом смысле, их называют псевдослучайными. В Excel генератор случайных чисел позволяет получать значения случайной величины с заданным законом распределения (равномерное, нормальное, Бернулли, Пуассона и др.). Для предложенной задачи величины X и Y распределены равномерно.
Если взять f(x) = sin x, a = 0, b = , то при различном количестве опытов получаем следующие результаты (см. таб. 1).
Таблица 1
n m
25 14 0,8796
200 121 0,9503
500 312 0,9802
Таким образом, мы видим, что с увеличением количества опытов n, значение величины приближается к 1, то есть, к точному значению интеграла
.
Данную задачу можно считать задачей повышенного уровня сложности и предлагать как дополнительную для «сильных» учащихся или рассматривать на факультативах.
На примере решения этих задач можно проследить связь дисциплин: математики, теории вероятностей (как раздела математики) и информатики.
В первом и втором примерах математические понятия и факты используются при решении задач комбинаторики и теории вероятностей. Также в предлагаемом курсе при изучении геометрического определения вероятности используются математические умения изображать в системе координат области, заданные аналитически, и вычислять площади фигур.
В третьем примере знания из курса информатики используются при решении задачи комбинаторики. Существует и обратная связь: в курсе информатики в разделе «алгоритмизация» могут изучаться алгоритмы генерации комбинаторных объектов (сочетаний, перестановок, размещений).
В четвертом примере понятие вероятности используется для решения задачи по теории информации из курса информатики. Помимо этого понятие вероятности используется при эффективном (оптимальном) кодировании информации в рамках курса информатики. Для оптимальной длины кода сообщения, символы с большей вероятностью появления в сообщении должны иметь меньшую длину элементарного кода.
В пятом примере для решения математической задачи используются различные определения понятия вероятности, и в качестве инструмента для генерации случайных чисел предполагается использовать компьютер.
Подводя итог, можно отметить, что представленный курс «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», помогает школьникам освоить достаточно широкий круг понятий и идей этого раздела математики, углубляет знания курсов математики и информатики, позволяет усилить интерес к этим предметам, показать их значимость, универсальность, и, в тоже время, общность понятийного аппарата и методов, что в свою очередь должно способствовать развитию мышления учащихся.
суббота, 1 ноября 2008 г.
Подписаться на:
Сообщения (Atom)