Полукольцом называется алгебра
Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом. Если в последнем случае выкинуть нуль, то получится полутело без нуля.
Полукольцо S называется абелево‑регулярным положительным (или, кратко, arp‑полукольцом), если
1) каждый его идемпотент e перестановочен со всеми элементами из S;
2) для любого a0S найдется такой элемент x0S, что axa = a, т. е. S – регулярное полукольцо;
3) для любого элемента a0S элемент а + 1 обратим в S, т. е. полукольцо S положительно.
Arp‑полукольца введены в работе [1], в которой была построена их структурная теория.
Для arp‑полукольца S используются следующие обозначения: U(S) – множество всех обратимых элементов в S, L(S) – множество всех идемпотентов полукольца S.
Каждый элемент a arp‑полукольца S представляется в виде произведения a = eaA u идемпотента ea0L(S) и обратимого элемента u0U(S), причем такой идемпотент определяется однозначно. Равенство идемпотентов ea = eb двух элементов a и b равносильно равенству aS = bS, или a = bu, u0U(S) [1, предложение 2.1].
С каждым arp‑полукольцом S связана тройка (ф1):
un (e)v ] eu = ev, u, v0U(S).
Для произвольного полутела без нуля U множество ConU всех конгруэнций на U является решеткой относительно отношения включения для конгруэнций. При этом для D, F 0ConU имеем inf(D, F)=D 1 F и sup(D, F) = D B F = F B D.
Вводится также категория абстрактных троек (ф2), состоящих из ограниченной дистрибутивной решетки L, полутела без нуля U и решеточного антигомоморфизма n : L 6 ConU, переводящего 0 в 1 и 1 в 0. Тройка вида (ф3) для некоторого arp‑полукольца S называется индуцированной.
В теории arp‑полуколец возникают следующие естественные вопросы [1].
1) Всякая ли тройка (ф2) индуцируется некоторым arp‑полукольцом?
2) Из изоморфизма индуцированных троек следует ли изоморфизм соответствующих arp‑полуколец?
В [1, пример 3.2, теорема 3.3] был приведен пример неиндуцированной тройки и установлено, что для индуцированности тройки (ф2) достаточно того, чтобы образ ImnS содержался в некоторой булевой подрешетке решетки ConU(S). В данной статье показано, что это условие является также необходимым.
Второй вопрос был положительно решен для предбулевых и идемпотентных arp‑полуколец [1, теорема 4.1, теорема 5.6].
Arp‑полукольцо S называется предбулевым, если для каждого идемпотента e0L(S) найдется такой идемпотент e10L(S), что для любых двух обратимых элементов u, v0U(S) существует единственный обратимый элемент w0U(S), удовлетворяющий равенствам eu = ew и e1v = e1w. Предбулевость полукольца S равносильна тому, что ImnS является булевой подрешеткой в решетке ConU.
Таким образом, поставленные вопросы были решены, в основном, в тех случаях, когда каждая конгруэнция n (e) дополняема в решетке конгруэнций ConU полутела без нуля U. Оказывается, n (e) всегда имеет дополнение в решетке ConU.
Для любого e0L(S) положим:
uR (e)v ] u + ex = v + ey, для некоторых x, y0U(S).
Несложно убедиться в том, что отношение R (e) является конгруэнцией на полутеле U(S). Действительно, R (e) транзитивно, так как если uR (e)v и vR (e)w , т. е. u + ex = v + ey и v + ez = w + et, x, y, z, t0U(S), то u + e(x+ z) = (u + ex) + ez = (v + ey) + ez = (v + ez) + ey = w + e(t + y), или uR (e)w. Рефлективность и симметричность R (e) очевидны, значит, R (e) является отношением эквивалентности. Кроме того, если к обеим частям равенства u + ex = v + ey прибавить обратимый элемент w0U(S) или обе части равенства умножить на w0U(S) слева или справа, то получим верные равенства. Откуда следует, что R (e) сохраняет операции полутела U(S).
Ставя в соответствие каждому идемпотенту соответствующую конгруэнцию, получаем отображение yS : L(S) 6 ConU(S), (ф4).
Заметим, что uR(e)(u + ea) для любого элемента a полукольца S, так как u + eA(a + 1) = (u + ea) + eA1 и (a + 1), 10U(S). Откуда следует, что uR(e)v ] (u + ea) R(e)(v + eb) для произвольных a, b0S.
Теорема 1. Конгруэнция R (e) является дополнением конгруэнции j (e) в решетке ConU(S), т. е. выполняются следующие равенства R(e)Bn(e) = 1 и R(e)1n(e) = 0.
Доказательство. Пусть u, v – произвольные элементы полутела U(S). Поскольку u + eA(v + 1) = (u + ev) + eA1 и e(u + ev) = e(u + v), то uR (e)(u + ev) и (u + ev)n (e)(u + v). Аналогично, vR (e)(v + eu)n (e)(u + v). Откуда u(R (e)Bn (e))v, т. е. R(e)Bn (e) = 1.
Рассмотрим теперь произвольные элементы u, v полутела U(S) такие, что u(R(e)1n (e))v, и покажем, что u = v. Имеем:
u + ex = v + ey и eu = ev, x, y0U(S). (*)
Складывая почленно два последних равенства, получаем
u + e(u + x) = v + e(v + y),
uA(1 + eu‑1(u + x)) = vA(1 + ev‑1(v + y)).
Поскольку из первого равенства (*) следует e(u + x) = e(u + ex) = e(v + ey) = e(v + y), а из второго – eu–1 = ev–1, то 1 + eu–1(u + x) = 1 + ev–1(v + y). Тогда u = v.
Теорема 2. Отображение RS : L(S) 6 ConU(S), (ф5), является решеточным гомоморфизмом, сохраняющим 0 и 1.
Доказательство. Пусть e, f – произвольные идемпотенты полукольца S. Требуется доказать равенства:
R(ef) = R(e)1R(f) и
R(e w f) = R(e)BR (f).
Включение R(ef) f R(e)1R(f) очевидно, так как, имея равенство u + efx = v + efy, x, y0U(S), получаем uR(e)(u + e(fx)) = (v + e(fy))R(e)v, т. е. uR(e)v.
Пусть u(R(e)1R(f))v, т. е. u + ex = v + ey и u + ft = v + fz. Если первое из двух последних равенств умножить на f, а второе на e, и их сложить, то получим:
(e + f)u + ef(x + t) = (e + f)v + ef(y + z).
Так как e + f = (e w f)w для некоторого w0U(S), то
(e w f)wu + ef(x + t) = (e w f)wv + ef(y + z).Умножая равенство слева на w‑1, получаем
(ф6), или
(ф7).Для удобства записи обозначим обратимые элементы w–1(x + t) = a и w–1(y + z) = b. Таким образом, имеем (u + efa)n(e w f)(v + efb). Кроме того, из uR(e)v следует (u + e(fa))R(e)(v + e(fb)). Поскольку R(е)1n(e w f) = R(е)1n(e)1n(f) = 0, то u + efa = v + efb, т. е. uR(ef)v. Следовательно, R(е)1R(f) fR(ef). Итак, имеет место равенство R(е)1R(f) =R(ef).
Докажем второе равенство R(е)BR(f) =R(e w f). Пусть uR(e)wR(f)v, т. е. u + ex = w + ey и w + ft = v + fz, где x, y, t, z0U(S). Тогда u + (ex + ft) = (u + ex) + ft = (w + ey) + ft = = (w + ft) + ey = (v + fz) + ey = v + (fz + ey). Так как ex + ft = (e w f)w1 и fz + ey = (e w f)w2 для некоторых w1, w2 0 U(S), то uR(e w f)v.
Предположим теперь, что uR(e w f)v. Так как R(е)Bn(e) = 1, то найдется такой обратимый элемент s 0 U(S), что uR(e)sn(e)v. Для доказательства достаточно показать, что sR(е)v. Поскольку uR(e)s, а по доказанному R(e) f R(e w f), то uR(e w f)s и uR(e w f)v. Откуда vR(e w f)s. Таким образом, имеем vR(e w f)s и sn(e)v, т. е. v + (e w f)x = s + (e w f)y и ev = es, где x, yÎU(S). Складывая последние два равенства, предварительно умножив первое из них на f, получаем:
(e + f)v + fx = (e + f)s + fy и
(e w f)wv + fx = (e w f)ws + fy,
где w0U(S) и e + f = (ewf)w. Откуда после умножения равенства на w‑1 слева и вынесения за скобки множителя (ewf) имеем:
(ф8),т. е. (ф9).
Поскольку vR(e w f)s влечет (ф10), или (ф11), а (ф12), то (ф13). А это и означает, что sR(е)v.
Лемма 1. (ф14) для любой конгруэнции J0U(S).
Доказательство. Требуется доказать, что (ф15), включение в другую сторону очевидно. Пусть (ф16) и (ф17), т. е. (ф18) и (ф19) для некоторых x, y0U(S), или
ex = ev, y + ea = v + eb и xJ y, где a, b0U(S). (**)
Поскольку xJ y и (x + a)J(y + a), то (y + e(x + a))J(x + e(y + a)). Складывая первые два равенства (**), получаем y + e(x + a) = v + e(v + b), поэтому
(v + e(v + b))J (x + e(y + a)),
(ф20).
Из первых двух равенств (**) следует, что ev‑1 = ex‑1 и e(v + b) = e(y + a), а значит, 1 + ev–1(v + b) = 1 + ex–1(y + a) . Откуда vJx, и uJv.
Лемма 2. Для любых конгруэнций (ф21) имеют места равенства
(ф22)
и
(ф23), т. е. конгруэнции n (e) и R (e) являются дистрибутивными элементами в решетке ConU(S).
Доказательство. Покажем справедливость первого равенства, второе равенство доказывается аналогично. Для доказательства достаточно показать включение g. Пусть u, v0U(S), (ф24) и (ф25), т. е. (ф26) и (ф27) для некоторых x, y0U(S). Поскольку R (e)Bn (e) = 1, то найдется такой элемент w0U(S), что un (e)wR (e)v. Тогда (ф28) и xn(e)w, а, значит, (ф29) и (ф30). Но тогда по лемме 3 xJ1w. Аналогично, из (ф31) и yn(e)w получаем yJ2w.
Итак, имеем (ф32) и (ф33), откуда (ф34), т. е. (ф35).
Решетка конгруэнций полутела без нуля ConU(S) модулярна, а в модулярной решетке множества дистрибутивных, стандартных и нейтральных элементов совпадают [2, гл III, §2]. Поэтому конгруэнция n (e) является также стандартным и нейтральным элементом в ConU(S), т. е. для любых конгруэнций J1, J2 0 ConU(S) имеют место следующие равенства:
(ф36),
(ф37).
Соответствующие равенства выполняются и для конгруэнции R (e).
Кроме того, нейтральные элементы имеют не более одного дополнения [2, гл III, § 2]. Значит, конгруэнция n (e) имеет в решетке ConU(S) единственное дополнение, равное R (e).
Замечание. Дистрибутивность конгруэнций n (e) и R (e) в решетке ConU(S) вытекает и из общих соображений. Поскольку конгруэнции n (e) и R (e) дополняют друг друга, то (ф38). Тогда (ф39) и в этом представлении n (e) = (0; 1), R (e) = (1; 0) [3, теорема 1]. А из этого следует дистрибутивность данных элементов [2, гл III, §2].
Множество всех нейтральных элементов решетки ConU(S), имеющих дополнение, образует булеву подрешетку в решетке ConU(S) [2, гл III, §2]. Итак, в любом arp‑полукольце S образ антигомоморфизма Imns вкладывается в булеву подрешетку. Учитывая теорему 3.3 из [1] (всякая тройка (ф40), для которой Imn содержится в какой‑либо булевой подрешетке B решетки ConU, является индуцированной тройкой) получаем следующую теорему.
Теорема 3. Абстрактная тройка (ф40) является индуцированной тогда и только тогда, когда все элементы n (L) дополняемы в ConU.
Изоморфизмом троек (ф40) и (ф41) называется пара (ф42) таких изоморфизмов $ : L 6 M, ( : U 6 V, что un(e)v равносильно (ф43).
Теорема 4. Два произвольных arp‑полукольца изоморфны тогда и только тогда, когда их индуцированные тройки изоморфны.
Доказательство. В теореме 3.3 [1] дана конструкция arp‑полукольца для троек (ф40), в которых ImnS содержится в некоторой булевой подрешетке в ConU (т. е. в силу теоремы 3 для индуцированных троек). Согласно этой теореме, если операции полукольца S однозначно определяются по тройке (ф44), то и arp‑полукольцо S единственным образом восстанавливается по этой тройке. Для произвольного arp‑полукольца S операция умножения всегда определяется однозначно: (eu)A(fv) = efAuv, e, f0L(S), u, v0L(S). Операция сложения в любом arp‑полукольце S совпадает со сложением, определенным в теореме 3.3, а именно:
eu + fv = (e w f)w, e, f0L(S), u, v, w0U(S), где обратимый элемент w удовлетворяет равенствам
wn(ef)(u + v), w(n(e) B (f))u, w(n(f) BR(e))v.
Действительно, так как (ф45), т. е. wn(e)(u + fv), и (u + fv)R(f)u, то w(n(e) BR(f))u. Аналогично, wn(f)(eu + v)R(e)v. Поскольку (ф46), то wn(ef)(u + v).
Наличие конгруэнций, дополняющих конгруэнции из ImnS в решетке ConU(S), позволяет усилить некоторые результаты статьи [1]. В частности, теорему 4.3: предбулево полукольцо S сократимо тогда и только тогда, когда полутело U(S) сократимо, а отображение nS инъективно.
Полукольцо S называется (аддитивно) сократимым, если равенство a + c = b + c влечет a = b для любых a, b, c 0 S.
Для доказательства следующей теоремы для произвольного arp‑полукольца воспользуемся леммами.
Лемма 3 [1, лемма 4.14]. Любая дополняемая конгруэнция на сократимом полукольце S обладает следующим свойством:
(a + c)D (b + c) Y aD b для любых a, b, c0S.
Лемма 4 [1, лемма 4.15]. Если D – дополняемая конгруэнция на сократимом полутеле без нуля U и (u + w)Dw для некоторых u, w0U, то D = 1.
Теорема 5. Arp‑полукольцо S сократимо тогда и только тогда, когда полутело без нуля U(S) сократимо и отображение nS является инъективным.
Доказательство. Необходимость. Если полукольцо S сократимо, то и полутело без нуля U(S), очевидно, будет сократимым. Предположим, что отображение nS не является инъективным, т. е. найдутся различные идемпотенты e, f в полукольце S такие, что n (e) = n (f). Тогда, в силу единственности дополнения конгруэнций в решетке ConU(S), R (e) = R (f). Поскольку (ф47) и n (e) = n (f), то (e + 1)n(e)(f + 1). Аналогично, из (ф48) и R (e) = R (f) следует (ф49). Так как (ф50), то e + 1 = f + 1. Откуда, в силу сократимости полукольца S, e = f, что противоречит выбору элементов e и f. Значит, антигомоморфизм nS инъективен.
Достаточность. Пусть полукольцо S сократимо и антигомоморфизм nS инъективен. Требуется доказать, что из равенства eu + gw = fv + gw следует eu = fv. Так как
(ф51)(ф52)
и (ф53), то (ф54). По лемме 4 n (e) B R (f) = 1. Аналогично, из (ф55) следует по лемме 4 n (f) B R (e) = 1. Так как n (e) B R (f) = n (f) B R (e), то
(ф56) (ф57).
Поскольку отображение jS инъективно, то e = f и eu + gw = ev + gw. Тогда (u + gw)n(e)(v + gw), следовательно, (u + (g + 1)w)n(e)(v + (g + 1)w), где (g + 1)w0U(S). По лемме 3 un (e)v, т. е. eu = ev = fv.
Полукольцо S называется (аддитивно) идемпотентным, если оно удовлетворяет тождеству a + a = a для любого a0S.
На произвольном идемпотентном полукольце S вводится отношение порядка:
a # b ] a + b = b, для a, b0S.
В [1] доказано, что для любого идемпотентного arp‑полукольца S, такого, что конгруэнции из Imns дополняемы в решетке ConU(S), (ф58) – дистрибутивная решетка [1, теорема 5.8].
Поскольку конгруэнции из Imn (S) всегда дополняемы в решетке ConU(S), то получается следующая
Теорема 6. Всякое идемпотентное arp‑полукольцо S является дистрибутивной решеткой относительно естественного порядка # на нем.
