Ряды по многочленам Фабера играют важную роль в теории приближения аналитических функций (см., напр., [1]). Суммы Валле‑Пуссена по ним являются лучшим аппаратом приближения по сравнению с частичными суммами рядов Фабера (см., напр., [2]). В настоящей заметке получены новые свойства сумм Валле‑Пуссена в указанном направлении.
Пусть {Фn(z)}n=0,1,… – последовательность многочленов Фабера, порождённых ограниченным континуумом К [1, 3]. Каждый из многочленов Фn(z) (n=0,1,…) является частью лорановского разложения функции [Ф(z)]n в окрестности бесконечно удалённой точки, состоящей из членов с неотрицательными степенями z. Здесь w=Ф(z) – функция, осуществляющая конформное отображение смежной с континуумом К области D, содержащей точку 4, на внешность окружности w=r, удовлетворяющая условиям
Ф(4) = 4, (Ф1).
По аналогии со степенным рядом число (Ф2) называется радиусом сходимости ряда Фабера
(Ф3) (1)
Пусть F – замкнутое ограниченное множество, содержащееся в D, такое, что дополнение к Ф(F) является областью, содержащей круг w£r и бесконечно удалённую точку. Через CА(F) – обозначим класс функций, непрерывных на F и аналитических в каждой внутренней точке этого множества.
Суммы Валле‑Пуссена Vn,m(z) определяются следующим образом:
(Ф4), m=1,2,…n; n=1,2,…,
где (Ф5) – частичные суммы ряда по многочленам Фабера (1).
Приведём лемму из работы [4], которая будет необходима в дальнейшем:
Лемма 1. Пусть А={ann } – нижняя треугольная бесконечная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям:
(Ф6) v = 0,1,2,… (2)
Тогда сумма (Ф7), где (Ф8), (Ф9), равномерно сходится к некоторой функции n (z)0 СА(F).
Имеет место следующая
Теорема 1. Для любого ограниченного замкнутого множества F, содержащегося в D, такого, что дополнение к Ф(F) является областью, содержащей круг w # r (D
где (Ф11), равномерно сходится к f(z) на F.
Доказательство. Согласно результату, аналогичному доказываемой теореме, для степенного ряда [5, стр. 35] существует степенной ряд
(Ф12) (4)
единичного радиуса сходимости, обладающий следующим свойством: для каждого множества Ф[F], содержащегося во внешности окружности w=1, и любой функции (Ф13) найдется подпоследовательность натуральных чисел {Nk}, зависящая от Ф(F) и (Ф14), такая, что
(Ф15), (5)
где (Ф16) равномерно сходится к (Ф17) на Ф(F).
От ряда (4) радиуса сходимости единица можно перейти к ряду произвольного радиуса сходимости r, D
Так как функция f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)]0СА[Ф(F)], то для любого множества Ф(F), содержащегося во внешности окружности w=r и произвольной функции f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)] найдется подпоследовательность натуральных чисел {Nk}, зависящая от f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)] и Ф(F), такая, что (Ф23), выраженное формулой (5), равномерно сходится к f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)] на Ф(F). Но тогда последовательность (Ф24), выраженная формулой (3), сходится равномерно к f(z) на F. Теорема доказана.
Отметим свойство произведения элементов матриц, которое нам будет необходимо для доказательства теоремы 2.
Рассмотрим элементы (nv, $nv нижнетреугольных бесконечных матриц Г={(nv}, B={$nv} соответственно, удовлетворяющих условиям:
(Ф25)
(Ф26) v = 0,1,2,…
Покажем, что
(Ф27);
(Ф28)
1. Действительно, применяя следующие рассуждения (a ‑ b)2 $ 0 ] a2 + 2ab + b2 $ 0 ] ab # (a2 + b2) / 2 для œ a,b0R, получаем, что (Ф29) (Ф30).
2. Соотношение (Ф31) очевидно, на основании свойства предела произведения.
Теорема 2. Пусть А={αnv} – нижняя треугольная бесконечная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям (2). Тогда существует ряд по многочленам Фабера (Ф32) радиуса сходимости r (r
равномерно сходится к f(z) на F, где (Ф34) (Ф35)
Доказательство. Применяя указанное выше свойство произведения элементов матриц, получим результат работы [6], откуда следует справедливость данной теоремы для степенного ряда (Ф36).
Из леммы 1 и упомянутого выше свойства матриц, следует, что последовательность (Ф37) где (Ф38) (Ф39), Tn(z) = [Ф(z)]n – Фn(z), сходится равномерно к некоторой функции j(z).
Так как функция f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)]0СА[Ф(F)], то для любого множества Ф(F), содержащегося во внешности окружности w=r, и произвольной функции f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)] найдется подпоследовательность натуральных чисел {nk}, зависящая от f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)] и Ф(F), такая, что (Ф40)
Где (Ф41) (Ф42), равномерно сходится к f[Ф–1(w)]+n[Ф–1(w)] на Ф(F). Но тогда последовательность (6) равномерно сходится к f(z) на F. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 1 следует из теоремы 2, когда "nv=1 при v=n и αnv =0 при v¹n.
Имеет место следующий аналог теоремы 2 работы [5] для сумм Валле‑Пуссена:
Теорема 3. Пусть А={αnv} – нижняя треугольная бесконечная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям (2). Тогда существует сумма Валле‑Пуссена обладающая следующим свойством: для каждого множества F указанного в теореме 1 и любой функции f(z)0 CA(F) найдутся подпоследовательности натуральных чисел {nk} и {ñk}, зависящие от F, f(z) и такие, что
(Ф43)
равномерно сходится к f(z) на F, где (Ф44)
(Ф45)
Доказательство. Справедливость данной теоремы для степенного ряда (Ф46) следует из теоремы 2 работы [5].
Используя доказанное выше свойство произведения элементов матриц и применяя лемму 1 к условиям данной теоремы, можно заключить, что последовательность (Ф47) сходится равномерно к некоторой аналитической функции j(z).
Здесь (Ф48), где (Ф49) и Tn(z) = [Ф(z)]n – Фn(z).
Далее, повторяя рассуждения, аналогичные приведённым при доказательстве теоремы 2, получим справедливость теоремы 3.
