ОБ УТОЧНЕНИИ НЕРАВЕНСТВА КОШИ

Устанавливается двойное неравенство, уточняющее классическое соотношение между средним арифметическим, средним геометрическим и средним квадратичным положительных чисел, и его обобщение.

В реферате [1] от 2002 года недоступной для нас работы китайских авторов нами был обнаружен результат, устанавливающий уточнение двойного неравенства, связывающего среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое данной совокупности положительных чисел. В настоящей работе мы предлагаем свой способ обоснования упоминаемого уточнения, а также рассматриваем его обобщение.
Введем в рассмотрение последовательность положительных чисел a1, a2, …, an, где n $ 2. Напомним, что средним степенным порядка x чисел ai (i = 1, …, n) называется величина
(ф1)
Известно, что функция F(x) обладает свойством монотонности, то есть для любых x1 и x2, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство F(x1) # F( x2), причем F(x1) = F( x2) только при условии a1 = a2 = … = an. Из монотонности функции F(x), в частности, следуют неравенства
Hn # Gn # An, (1)
связывающие классические средние арифметическое An = F(1), геометрическое Gn = F(0) и гармоническое Hn = F(–1). Нетрудно видеть, что правая часть (1) есть знаменитое неравенство Коши. Очевидно также, что (1) можно рассматривать как оценку сверху и снизу для среднего геометрического.
В настоящей работе мы рассмотрим уточнение этой оценки.
Теорема 1. Справедливо неравенство
(ф2), (2)
причем если n > 2, то равенство в нем достигается только при a1 = a2 = … = an, если же n = 2, то равенство достигается при любом наборе (a1, a2).
Доказательство. 1. Рассмотрим случай n = 2. Имеем: (ф3), что верно для любых чисел a1 и a2.
2. Рассмотрим случай, когда n– чётное число, то есть n = 2k, k – целое число, большее 1. Предполагая, что теорема верна для k чисел, покажем, что она будет верна и для n чисел. Путем равносильных преобразований (2) можно переписать в виде
(ф4), (3)
поэтому доказывать будем неравенство (3). Оценим его правую часть сверху:
(ф5)
(ф6)
(ф7)
Здесь к произведениям вне скобок применили неравенство Коши, а к выражениям, стоящим в скобках – индукционное предположение. Полученное произведение вновь оценим с помощью неравенства Коши, применив его к первым двум множителям:

(ф8).
Требуемое установлено. Очевидно, равенство достигается только тогда, когда a1 = a2 = … = an.
3. Рассмотрим случай, когда n– нечётное число, то есть n = 2k + 1, k – натуральное число. Предполагая, что теорема верна для n = 2k, покажем ее справедливость и для n = 2k + 1. Доказывать опять же будем неравенство (3). Пусть a = max(a1, …, an). Введем в рассмотрение функцию f :[0;a]n 6 R, полагая, что (ф9). Очевидно, (3) обращается в равенство, если a1 = … = an, следовательно, в этом предположении f(a1, …, an) = 0. Покажем, что если не все aj(j = 1, …, n) равны между собой, то f(a1, …, an) > 0. Заметим, что f – непрерывная на множестве [0;a]n функция. По второй теореме Вейерштрасса она принимает свое наименьшее значение. Пусть (ф10) – точка, для которой (ф11). Покажем, что (ф12).
Предположим противное: среди чисел (ф13) есть различные. Рассмотрим сначала случай, когда (ф14) – внутренняя точка множества [0;a]n . Тогда
(ф15), i = 1, …, n.
К вычитаемым в записанных выражениях для частных производных можем применить индукционное предположение, при этом получим, что
(ф16)
откуда следует, что (ф17). Получили противоречие, следовательно, точка (ф14) не может быть внутренней точкой множества [0;a]n, значит, она является его граничной точкой. В связи с этим возможны варианты:
1) среди компонент (ф14) есть равные нулю,
2) ни одна из компонент (ф14) в нуль не обращается. Рассмотрим первый из них.
Пусть m(1 # m # n–1) компонент точки (ф14) обращаются в нуль. Без ограничения общности положим, что это первые m компонент. Введем в рассмотрение функцию g :[0;a]n‑m 6 R, полагая, что (ф18). Очевидно, функцию g можно записать и в таком виде: (ф19)
При m $ 2 записанная функция, очевидно, принимает только положительные значения. В случае, когда m = 1, тот же факт несложно показать, опираясь на неравенство Коши и неравенство Бернулли:
(ф20).
Таким образом, для точки (ф14) как граничной точки множества [0;a]n возможен лишь второй отмеченный выше вариант.
Пусть теперь m(1 # m # n–1) компонент точки (ф14) равны a, а n – m отличны от a. Без ограничения общности положим, что (ф21) (ф22). Введем в рассмотрение функцию h :[0;a]n‑m 6 R, положив h(xm+1, …, xn) = f(a, …, a, xm+1, …xn) . Очевидно, можем записать ее в виде:
(ф23).
Точка (ф24) есть внутренняя точка множества [0;a]n‑m, и нетрудно видеть, что она является точкой инфимума функции h, поэтому в силу необходимого условия экстремума функции нескольких переменных заключаем, что
(ф25)
где k = m + 1, …, n. Последние соотношения позволяют записать равенства
(ф26).
Рассмотрим равенство, например, первой и последней из записанных сумм. Преобразуем их следующим образом:
(ф27),
или (ф28). Последнее соотношение позволяет утверждать, что (ф29). Рассматривая попарно остальные равенства, можем записать, что (ф30).
Введем теперь в рассмотрение функцию
(ф31).
Заметим, что в силу неравенства Коши для взвешенных средних справедливо следующее соотношение:
(ф32)
Отсюда следует, что H(x0) > 0. Так как H(a) = 0, то мы получили противоречие с предположением о том, что (ф33). Таким образом, теорема полностью доказана.
Теорема 2. Справедливо неравенство
(ф34), (4)
причем если n > 2, то равенство в нем достигается только при a1 = a2 = … = an, если же n = 2, то равенство достигается при любом наборе (a1, a2).
Доказательство. Нетрудно видеть, что величина An, употребляемая нами, есть не что иное, как (ф35), где (ф36) – среднее гармоническое чисел (ф37). Аналогично: (ф38), где (ф39) – среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел (ф40) соответственно. Делая подстановку в неравенство (2), получаем необходимое соотношение. При этом очевидно, что условия достижения равенства останутся прежними. Теорема доказана.
Теорема 3. Справедливы неравенства
(ф41),
где " > 0, причем если n > 2, то равенство в нем достигается только при a1 = a2 = … = an, если же n = 2, то равенство достигается при любом наборе (a1, a2).
Доказательство. Заметим, что (ф41.1), где (ф41.2) – среднее арифметическое чисел (ф42). Аналогично: (ф43), где (ф44) – среднее гармоническое и среднее геометрическое чисел (ф45) соответственно. Делая подстановку в неравенства (2) и (4), получаем необходимые соотношения. Условия достижения равенства, очевидно, прежние. Теорема доказана.