ОБ ОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ

В работе [1] исследуется задача Дирихле для обобщённого уравнения Коши Римана:
(ф1) (1)
где (ф2) (ф3)
При этом новизна исследований состоит в том, что допускающие особенности в точке z=0 коэффициенты b(z) принадлежат весовому пространству функций Sp(G), которое является индуктивным пределом пространств локально ограниченных функций:
(ф4).
Весовые функции p(t) удовлетворяют следующим, достаточно общим условиям:
1. Заданы и положительны на некотором промежутке (0, tp], где tp < 1;
2. Не убывают на (0, tp];
3. (ф5);
4. (ф6).
Множество таких функций обозначается через P. В дальнейшем будем считать функции p(t) заданными на всём промежутке (0, 1], продолжая в случае необходимости p(t) на промежутке [tp, 1] постоянной, равной p(tp). В этом случае условия 1 2 и 4 будут выполнены уже на всём промежутке (0, 1]. В данной работе изучаются свойства функций p(t)  P.
Известно, что теория И. Н. Векуа (см.[2]) для уравнения (1) построена для случая, когда b(z)  Lq(G), q > 2. Функция (ф7) удовлетворяет условиям 1 4, причём если (ф8), то (ф9). С другой стороны, (ф10) (ф11), но f(z)  Lq(G)(q > 2), поэтому исследования в [1] можно рассматривать как продолжение и расширение теории Векуа.
Нетрудно показать, что для функции p(t)  P существует число cp > 0: (ф12).
В соответствии с определением, данным в [3], функция p(t), удовлетворяющая условиям 1 3 и дополнительному условию:
(ф13) убывает на некотором промежутке (0, tp], (2)
называется квазивогнутой. Приведённые выше функции p1(t), p2(t) являются квазивогнутыми. Как следует из леммы 1.1 (см.[3]), квазивогнутые функции являются непрерывными и даже абсолютно непрерывными функциями. В связи с этим возникает вопрос: не следует ли из условий 1 4 квазивогнутость функции p(t)? Отрицательный ответ на этот вопрос даёт следующий пример:
(ф14).
Тогда условия 1 4 выполнены для этой функции, но функция (ф15) не является убывающей: если рассмотреть t1 > t2, (ф16) – мало, то (ф17).
Представляет интерес связь функций из P с другими классами функций.