Движение небесных тел

Постановка задачи. В некотором месте космического пространства находится большое тело массы М. В поле тяготения этого тела попадают тела меньшей массы m, прилетающие откуда-то. При этом известны скорости их движения в момент времени, который примем за нулевой. Приблизительно такая ситуация имела место в момент формирования Солнечной системы. Тела, скорость которых превосходила вторую космическую, вырывались из поля тяготения Солнца и улетали в космическое пространство. Тела, со скоростью движения, попадающей в интервал второй космической скорости, становились спутниками Солнца, образуя Солнечную систему. Судьба тел с меньшей скоростью — упали на поверхность Солнца, пополнив его массу. Построить компьютерную модель, которая на экране дисплея графически показывала бы судьбу каждого из трех типов тел.

Математическая модель. Выберем в качестве основы построения математической модели положения Ньютона, как наиболее отвечающие нашим целям и не противоречащие сегодняшним представлениям естествознания.
В основе этих представлений лежат два фундаментальных закона физики:
1) второй закон Ньютона, связывающий ускорение движение тела с силой, действующей на него;
2) закон всемирного тяготения, принадлежащий тому же Ньютону.
Будем считать, что орбита любого тела, движущегося в поле тяготения тела массы М, целиком лежит в одной плоскости (плоскость орбиты). Этот факт непосредственно следует из названных двух законов Ньютона, но доказательство его оставим за пределами нашего рассмотрения.
В плоскости орбиты введем систему координат: в центре ее поместим "солнце" системы (тело массы М), ось ОХ направим из центра в начальное положение тела (в момент его попадания в поле тяготения "солнца"); ось OY — перпендикулярно ей.
Пусть положение тела описывает вектор-функция r(t), начало которой находится в центре системы координат, конец — на орбите. Кроме того, обозначим вектор силы, действующей со стороны "солнца" на тело через F(t). В этих обозначениях 2-ой закон Ньютона может быть записан так
mr"(t)=F(t),
r"(t) — вектор-функция ускорения движения тела под действием силы F(t) (вторая производная от вектор-функции r(t)), m -масса тела.
Закон всемирного тяготения Ньютона записывается так

где k — гравитационная постоянная (k=6,67*10-11 м3/(ru*c2)), М — масса "солнца", m- масса тела, |r(t)| — расстояние от центра координат до точки на орбите

где x(t) и y(t) — составляющие вектора r(t). Величина отношения — вектор единичной длины, направленный так же как вектор r(t).
Формулировка приведенного закона: сила притяжения, действующая на тело со стороны "солнца", прямо пропорциональна массам "солнца" (М) и самого тела (m), обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена от тела к "солнцу".
Заменяя в правой части уравнения второго закона Ньютона силу F(t) на ее значение, определяемое законом притяжения, сокращая в левой и правой части массу тела m, приходим к дифференциальному уравнению второго порядка для вектор-функции r(t)
.
Это уравнение, рассматриваемое совместно с начальными условиями (положение и начальная скорость), и представляет собой математическую модель движения тела в поле притяжение "Солнца" (тела массы М).
Для решения векторного дифференциального уравнения обычно его проектируют на оси координат, и решают получающиеся при этом уравнения относительно составляющих вектор-функции r(t) (x(t) и y(t)). Осуществим, это проектирование.
Для сокращения записи обозначим через f(t) скалярную (невекторную) величину

Проектируя на оси ОХ и OY получим соответственно
x"(t)=f(t)x(t),
y"(t)=f(t)y(t).
Получили систему дифференциальных уравнений относительно составляющих x(t) и y(t). Для решения такой системы необходимо знать начальные условия, т.е. начальное положение и начальную скорость (в момент времени t=0). В силу выбора системы координат в нашем случае будем считать, что заданы значения х(0)=, у(0)=0, х'(0)=, у'(0)=.
Система из двух дифференциальных уравнений второго порядка, рассматриваемая совместно с четырьмя начальными условиями, представляет собой полное математическое описание поведения тела в поле притяжения "Солнца"
В этой задаче неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами километров, секунд и т.д. В качестве величин для обезразмеривания удобно принять характерное расстояние от Земли до Солнца ρ=1,496*1011м, период круговой орбиты , соответствующий этому расстоянию, скорость движения по ней , т.е. принять
, , , , .
После обезразмеривания получаем

Можно доказать, что возможные траектории движения, описываемые уравнениями – эллипс, парабола и гипербола.

Вычислительная модель. Система дифференциальных уравнений представляет собой типичный пример непрерывной математической модели. Чтобы можно было реализовать ее решение (приближенное, конечно) на компьютере, необходимо найти для нее адекватное дискретное представление.
1 способ.
Поступим следующим образом. Выберем некоторое значение шага h по времени t. Начиная с нулевого момента времени, будем рассматривать систему узловых (по времени) точек tk:
tk = k-h, k = 0, 1, 2, 3, ... .
В каждой узловой точке tk заменим вторые производные из левой части дифференциальных уравнений математической модели конечно-разностными отношениями

Рассматривая систему дифференциальных уравнений только в узловых точках tk, заменяя производные на конечно-разностные отношения и обозначая приближенные значения x(tk) и у (tk) через xk и yk соответственно, приходим к дискретному аналогу непрерывной математической модели (системы дифференциальных уравнений)

при к=1, 2, 3, ... .
Разрешим последнюю систему конечно-разностных уравнений относительно xk+i и yk+i. Получим

при k = 1, 2, 3, ... .
Последняя система представляет собой два рекуррентных соотношения, которые позволяют по значениям xk, xk-i и yk, уk-1 находить xk+i и yk+i. Таким образом, если известны начальные значения х1, х0 и у1, у0, то последовательно применяя рекуррентные соотношения, находим х2 и у2 и т.д.
Начальные значения можно найти из начальных условий для системы дифференциальных уравнений. Заменяя первые производные конечно-разностными отношениями, получим
x0=0, y0=0,
Окончательно имеем
х0=, у0=0, x1=x0+hvx, y1=y0+h vy.
Вычислительная модель, таким образом, представляет собой два рекуррентных соотношения с полученными начальными условиями:

Очевидно, что такая задача однозначно разрешима.
2 способ.
От системы двух дифференциальных уравнений второго порядка

перейдем к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка


Задание
1. Построить компьютерную модель, отображающую в центре экрана Солнце и движение планеты.
2. Подбирая начальные условия, надо добиться получения всех трех типов орбит, одновременно определяя первую "космическую" скорость (эллиптические орбиты) и вторую "космическую" скорость (параболическая орбита).
Для тех, кто хотел бы использовать эту модель для показа устройства нашей Солнечной системы необходимо организовать ввод данных, соответствующих реальным расстояниям между Солнцем и планетами, массой Солнца, гравитационной постоянной, т.е. коэффициент пропорциональности k и начальной скоростью движения.

Отличный качественный парфюм , включая элитный парфюм Armand Basi